Retrouver une équation de droite à partir d'un vecteur normal - Exemple 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

On veut déterminer une équation cartésienne de la droite  \((d)\) perpendiculaire à la droite d'équation cartésienne \(4x - 3 y +10 = 0\)  passant par le point \(\text M(\sqrt{2} ; 1)\) . 

Les droites étant perpendiculaires, un vecteur directeur de l'une est un vecteur normal de l'autre.

On lit directement sur l'équation de la droite cartésienne qu'un vecteur directeur a pour coordonnées  \(\require{\asm}\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\) . Ce vecteur est alors un vecteur normal de la droite \((d)\)  ; on en déduit alors que \(a = 3\) et \(b= 4\) .

Une équation cartésienne de la droite  \((d)\)  est de la forme \(3x +4 y + c = 0\) , avec \(c\)  un réel à déterminer.

La droite  \((d)\) passe par le point \(\text M\) , cela permet d'écrire la condition d'appartenance de  \(\text{M}\) à  \((d)\) : \(3x_M+4 y_M + c = 0\) , c'est-à-dire \(3 \times \sqrt{2} +4 \times 1 + c = 0\) , soit \(3 \sqrt 2 + 4 + c = 0\) et \(c = - 3 \sqrt 2 - 4\) .

Une équation cartésienne de la droite  \((d)\) est \(3x + 4 y - 3 \sqrt 2 - 4 = 0\) .